Formule de Moivre

Théorème

Soit \(\theta \in \mathbb{R}\) . Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , on a : \(\begin{align*}\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n& = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta).\end{align*}\)

Démonstration

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n=\left(\text e^{i\theta}\right)^n=\text e^{in\theta} = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\) .